1.  Traja zbojníci.

Traja zbojníci si chcú rozdeliť korisť. Každý z nich je presvedčený, že dokáže rozdeliť korisť na rovnaké časti, lenže ostatní mu nedôverujú. Keby zbojníci boli len dvaja, východisko by bolo ľahké: jeden by rozdelil korisť na dve časti a druhý by si vzal tú časť, ktorá by sa mu zdala väčšia. Ukážte, ako majú postupovať traja zlodeji, aby každý z nich bol presvedčený, že jeho diel je aspoň tretina celej koristi. (Korisť je natoľko rôznorodá, že nejestvuje objektívny spôsob, ako porovnať jednotlivé časti.)

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

 

2. Riešte predchádzajúcu úlohu pre n zbojníkov.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

 

3. Rytieri za okrúhlym stolom.

Počas prímeria si zasadli za okrúhlym stolom rytieri z dvoch nepriateľských táborov. Ukázalo sa, že počet rytierov, ktorí majú po pravej strane nepriateľa, sa rovná počtu rytierov, ktorí majú po pravej strane spojenca. Dokážte, že celkový počet rytierov je deliteľný číslom 4.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

 

4. Logik na ostove.

Logik sa dostal na ostrov, na ktorom žijú dva kmene. Príslušníci jedného kmeňa hovoria vždy pravdu a príslušníci druhého zase vždy klamú. Cestovateľ prišiel na rázcestie, stretol tam domorodca a chcel sa ho opýtať, ktorá z dvoch ciest vedie do dediny. Nevedel, ku ktorému kmeňu patrí domorodec. Ale na chvíľu sa zamyslel a položil mu jedinú otázku. Z odpovede na ňu sa presne dozvedel, ktorou cestou má ďalej ísť. Aká to bola otázka?

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

 

5. Biele a čierne guľe.

V jednej urne sú dve biele gule, v druhej sú dve čierne a v tretej je jedna biela a jedna čierna. Na každej urne visela tabuľka označujúca jej obsah: BB,ČČ a BČ. Ale nejaký vtipkár premiestnil všetky tabuľky tak, že každá z nich ukazuje obsah urny nesprávne. Je dovolené vytiahnuť guľu z ľubovoľnej urny, ale tak, aby sa pritom do nej nevidelo. Aký najmenší počet gúľ potrebujeme vybrať, aby se mohli určiť obsah všetkých troch urien? (Po každom výbere sa guľa vracia nazad.)

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

 

6. Pravé a falošné mince.

Máme 10 vrecúšok obsahujúcich mince. V deviatich vrecúškach sú pravé mince (vážia po 10 gramov) a v jednom sú všetky mince falošné (vážia po 11 gramov). Určte pomocou jediného váženia, v ktorom vrecúšku sú falošné mince.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

 

7. Cestujúci v autobuse.

 Autobusom bez sprievodcu cestovalo 20 ľudí. Hoci mali len 10,15 a 20 halierové mince, každý z nich zaplatil za jazdu presne 5 halierov. Ako sa to mohlo stať? Dokážte, že mali aspoň 25 mincí.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

 

 8.  Žiaci v triede. Dokážte, že v každej skupine zloženej zo šiestich žiakov vždy existujú traja žiaci, ktorí sa navzájom poznajú alebo existujú traja žiaci, ktorí sa navzájom nepoznajú.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

 

9. Na šachovom turnaji sa zúčastnilo n šachistov: veľmajstri a majstri. Po skončení turnaja sa ukázalo, že každý účastník získal presne polovicu svojich bodov v partiách proti majstrom. Ukážte, že 1.png je celé číslo.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

10. Zastávky v Lisse.

Sieť autobusových tratí v meste Lisse je zostavená takým spôsobom, že:
a) na každej trati sú tri zastávky;
b) každé dve trate alebo nemajú spoločnú zastávku, alebo majú len jednu.
Aký najväčší počet tratí môže byť v meste, ak vieme, že je len deväť rôznych zastávok?

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

11. železničné spojenie.

V istej krajine je medzi ľubovoľnými dvoma mestami priame železničné spojenie, ale len v jednom smere. Dokážte, že existuje také mesto, do ktorého sa dá pricestovať z ľubovoľného iného mesta po trati prechádzajúcej nanajvýš jedným mestom.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

12. Krížiky a nuly.

Dokážte, že v hre na krížiky a nuly, druhý hráč nech hrá akokoľvek dobre, nemôže dosiahnuť nič lepšie ako remízu, ak jeho partner hrá správne.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

13. Najskôr po šiestich ťahoch.

Nech sa hra odohráva na hárku štvorčekového papiera (obyčajného školského formátu). O výsledku hry rozhodujú štyri rovnaké znaky stojace v rade. Dokážte, že použitím správnej stratégie krížiky aj tak nemôžu vyhrať skôr, ako po šiestich ťahoch.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

14. Na tri rovnaké znaky.

Hrá sa na tri rovnaké znaky stojace v rade. Aký najmenší počet políčok musí obsahovať tabuľa, aby začínajúci hráč mohol vyhrať, nech by jeho súper hral s minimálnym počtom políčok a dokážte, že v ľubovoľnej tabuľke s menším počtom políčok sa druhý hráč môže vyhnúť prehre.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

15. V krajine Lemniskata ohlásili konkurz na jednotný projekt bytu určeného na obývanie jednou, dvoma, tromi alebo štyrmi osobami. Vyžaduje sa, aby počet izieb v byte bol minimálny a aby sa vo všetkých prípadoch obytný priestor dal rozdeliť rovnako medzi spolubývajúce osoby. Predložte vaše návrhy na počet a rozmery izieb.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

16. Na štvorčekovom papieri hrajú dvaja hráči podľa nasledujúcich pravidiel. Prvý hráč narysuje úsečku, ktorá sa zhoduje so stranou niektorého štvorčeka. Druhý hráč predĺži túto úsečku tak, že začína svoju úsečku z konca predchádzajúcej a vedie ju zase po strane niektorého štvorčeka. Potom nasleduje prvý hráč atď. Výsledkom (obr. 1) je nejaká lomená čiara, ktorá leží na linkách štvorčekovej siete. Táto lomená čiara môže pretínať samú seba, avšak nesmie prebiehať dva razy po jednej a tej istej strane štvorčeka. Hra končí remízou, keď táto lomená čiara dosiahne okraj papiera. Ak niektorý hráč sa nachádza vo vnútornom bode štvorčekovej siete a svojím ťahom už nemôže čiaru predĺžiť, tak prehráva (obr. 2). Dokážte, že druhý hráč nemôže prehrať, akokoľvek by hra prebiehala.

2oprava.png

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

17. Dokážte, že začínajúci hráč môže v predchádzajúcej hre hrať tak, aby sa partia skončila remízou.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

18. Knieža Gvidon mal troch synov. 93 z jeho potomkov mali po dvoch synoch a všetci ostatní zomreli bezdetní. Koľko potomkov mal knieža Gvidon?

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

19. Kruh je rozdelený na šesť výsekov a v každom leží jedna minca. Jedným ťahom je dovolené premiestniť ľubovoľnú mincu na ktorýkoľvek z obidvoch susedných výsekov. Dajú sa všetky mince premiestniť na 20 ťahov do jedného výseku?

Zobraziť/Skryť  Odpoveď 

20. Kruh je rozdelený na 14 rovnakých výsekov a v štyroch navzájom susediacich ležia mince s hodnotou 1,2,3 a 5 (obr. 10). Je dovolené presunúť ľubovoľnú mincu cez tri výseky do štvrtého. Po sérii ťahov sa mince znova nachádzajú v pôvodných štyroch výsekoch. V akom poradí sa môžu nachádzať? Nájdite všetky prípady a dokážte, že iných prípadov niet.

Zobraziť/Skryť  Odpoveď